При изучении математических функций, очень важно понимать, как изменение некоторых параметров может влиять на график функции. Один из таких параметров - это масштабирование графика, то есть его растяжение или сжатие. Растянутый или сжатый график может предоставлять ценную информацию о поведении функции и помочь нам лучше понять ее свойства.
Когда график функции растягивается, он увеличивается или уменьшается в размере по определенной оси или в направлении. Это происходит при изменении значения параметров функции. Например, функция y = 2x имеет график, который увеличивается в два раза вдоль оси y по сравнению с графиком функции y = x. Такое растяжение позволяет нам сделать вывод о том, что функция y = 2x имеет более крутой наклон, чем функция y = x.
Сжатый график, напротив, уменьшается в размере по определенной оси или в направлении. Например, функция y = sin(2x) имеет график, который сжимается вдоль оси x по сравнению с графиком функции y = sin(x). Такое сжатие графика связано с тем, что аргумент функции sin(2x) удваивается, что приводит к уменьшению периода функции.
Определение растянутого и сжатого графика функции
Растянутый график функции может быть получен путем умножения входного параметра на константу, большую 1. Это приводит к увеличению пространства между точками на графике функции и растягивает его вдоль осей. Таким образом, график становится более пологим, менее крутым.
Сжатый график функции, наоборот, получается путем умножения входного параметра на константу, меньшую 1. Это уменьшает пространство между точками на графике и сжимает его вдоль осей. График становится более крутым, менее пологим.
Растянутый и сжатый график функции могут быть полезными инструментами для анализа и понимания поведения функции при изменении ее параметров. Они позволяют визуально представить, как изменения входных параметров влияют на форму и характеристики функции.
Как растягивается график функции
Изменение масштаба графика функции может быть вызвано изменением значений параметров функции или применением операций с функцией.
Различают два основных типа растягивания графика: растяжение и сжатие.
Растяжение графика функции происходит, когда значения на оси x или y умножаются на коэффициент, больше 1. В результате график сжимается в направлении выбранной оси. Например, если коэффициент растяжения равен 2, то график функции будет удлинен вдвое.
Сжатие графика функции происходит в случае, когда значения на оси x или y умножаются на коэффициент, меньше 1. В результате график функции будет сжат в направлении выбранной оси. Например, если коэффициент сжатия равен 0.5, то график функции будет сокращен вдвое.
Для наглядности изменения формы графика функции можно построить таблицу, в которой будут указаны значения функции до и после изменения масштаба по x и y.
| x | y | Результат до | Результат после |
|---|---|---|---|
| -2 | 4 | (-4, 8) | (-8, 16) |
| -1 | 2 | (-1, 2) | (-2, 4) |
| 0 | 0 | (0, 0) | (0, 0) |
| 1 | 2 | (1, 2) | (2, 4) |
| 2 | 4 | (2, 4) | (4, 8) |
В таблице приведены значения функции до и после растяжения графика функции по оси x. Координаты точек на графике меняются пропорционально коэффициенту растяжения.
Примеры растянутого графика функции
Растянутый график функции возникает, когда отношение между аргументами и значениями функции изменяется. Это может происходить путем изменения коэффициентов функции или путем добавления дополнительных факторов.
Вот несколько примеров функций с растянутыми графиками:
1. Квадратичная функция:
Функция f(x) = ax^2, где a - коэффициент, определяет форму и растяжение графика. Если a > 1, график будет растянут вверх. Например, если a = 2, график будет выглядеть более пологим и широким в сравнении с графиком базовой функции f(x) = x^2.
2. Экспоненциальная функция:
Функция f(x) = a^x, где a - базовое число, может быть растянута или сжата в зависимости от значения a. Если a > 1, график будет растянут вверх. Например, если a = 2, график будет иметь более крутой наклон и изменение значений вдоль оси y будет увеличиваться быстрее по сравнению с графиком базовой функции f(x) = 2^x
3. Синусоидальная функция:
Функция f(x) = a*sin(bx), где a и b - коэффициенты растяжения, может также иметь растянутый график. Если a > 1, график будет растянут по оси y. Если b > 1, график будет растянут по оси x. Например, функция f(x) = 2*sin(x) будет иметь более крупные пики и более широкие долины по сравнению с графиком базовой функции f(x) = sin(x).
Как сжимается график функции
Сжатие графика функции происходит при изменении параметров функции и приводит к изменению формы самого графика. Сжатие графика может быть горизонтальным или вертикальным в зависимости от изменения соответствующего параметра.
График функции может сжиматься горизонтально, когда коэффициент при переменной внутри функции уменьшается относительно исходного значения. Такое сжатие сужает график в направлении оси Y, делая его уже или более "странным". Например, при умножении функции на коэффициент меньше 1, график функции будет сжиматься вправо.
Вертикальное сжатие проявляется при уменьшении коэффициента при функции в целом. Это приводит к уменьшению высоты графика при сохранении формы самого графика. Различные значения коэффициента обеспечивают различные степени сжатия по вертикали.
Сжатие графика функции влияет на его вид и характеристики, такие как локализация экстремумов, периодичность и точка перегиба. Изучение сжатия графика функции является важным аспектом анализа функций и позволяет более глубоко понять их поведение.
